최적의 비전 시스템 해상도 측정을 위한 MTF(변조전달함수) 사용 방법

비전 시스템의 품질은 여러 요인에 의해 영향을 받는데, 주로 렌즈와 센서의 해상도에 의해 결정된다. 변조 전달 함수는 렌즈의 해상도를 결정하고 비교하기 위해 잘 정립된 방법이다.

그러나 전체 시스템의 성능 평가를 위해서는 센서의 해상도를 추가로 고려해야 한다. 센서는 어떻게 이 모델에 통합될 수있을까? 이 문서에서는 광학 전달 함수의 기본 사항과 그에 따른 변조 전달 함수(MTF)에 대해 설명한다. 또한 비전 시스 템의 최적의 성능을 제공하기 위해 센서와 렌즈에 영향을 미치는 다른 중요한 요소에 대해서도 자세히 설명한다.

기존의 이미징 시스템은 센서에 렌즈를 추가하여 물체를 캡처한다. 이 시스템의 해상도는 두 가지 구성 요소로 이루어져 있다. 센서와 렌즈의 픽셀 해상도이다. 이상적으로는 물체의 한 점이 센서의 한 점에 정확히 이미지화되어야 한다. 그러나 회절과 렌즈 요소 내부와 표면의 굴절을 통해 가우스 강도 프로파일을 가진 작은 디스크가 이미지화된다. 이 디스크의 최대 강도는 여전히 점이 있을 것으로 예상되는 영역에 있지만 어느 정도의 강도 분포가 있다.

강도 분포는 빛의 파장, 렌즈의 조리개, 렌즈의 품질에 따라 달라진다. 이상적으로는 렌즈의 투과율이 최적이므로 한 점의 전체 강도가 단일 점의 단일 픽셀에 떨어진다. 그렇지 않고 강도의 일부가 인접한 픽셀에 떨어지면 이미지가 흐릿해진다.

이상적인 캡처 포인트와 가능한 차이 또는 스프레드는 <그림 1>을 참조하면 된다.

<그림1> 렌즈는 센서에서 가우스 강도 프로파일을 사용하여 점을 디스크로 이미지화한다. 렌즈의 품질은 강도 프로파일의 폭에 영향을 미치며, 해상도가 낮을수록 강도 프로파일의 폭이 넓어진다.

<그림2> 객체 평면과 이미지 평면은 점 스프레드 함수(PSF)로 연결된다.

물체 평면과 이미지 평면 사이의 전환은 점 확산 함수로 수학적으로 설명할 수 있다. x-y 평면(객체 평면)에 이상적인점 소스가 있다고 가정하면 <그림2>를 참조하여 이미지 평면의 응답 펄스를 점 확산 함수(PSF)와 점 소스 사이의 컨볼루 션으로 설명할 수 있다.

물론 위치 공간의 대안으로 주파수 도메인을 사용할 수 있으며, 이 둘은 푸리에 변환(FT)으로 연결된다. 점 확산 함수의 푸리에 변환은 광학 전달 함수(OTF)이다. 점 대신 객체 공간 에서 빈도가 증가하는 흑백 줄무늬 패턴, 즉 점점 더 얇고 촘촘하게 채워진 줄무늬를 상상할 수 있다. 패턴(즉, 광학 요소) 을 이미징 시스템에 통과시킬 때 흑백의 대비인 진폭은 주파 수가 증가함에 따라 점점 더 작아진다. 특정 주파수에서는 이미지에서 감지할 수 있는 흑백 요소 사이에 차이가 없지만 다소 회색 표면만 나타난다.

광학 전달 함수의 진폭, 즉 실수 부분을 변조 전달 함수(MTF) 라고 한다. 이 함수는 이미징 성능을 정밀하게 측정한다. 패턴의 흑백 줄무늬의 너비가 각 흑백 줄무늬가 센서의 픽셀 너비와 정확히 일치하는 경우 센서에서는 두 이미지의 합성 이미지, 즉 회색 표면만 이미지화한다. 두 줄무늬의 너비가 센서의 픽셀 너비와 정확히 일치하는 경우 경계선 문제가 발생한다.

이론적으로 줄무늬와 픽셀의 위치에 따라 흑백 패턴 (하나의 줄무늬가 하나의 픽셀에 정확히 대응) 또는 회색 표면이 이미지화될 수 있다.

<그림3> 주파수가 증가하는 (정현파) 스트라이프 패턴을 이미지화하면 주파수가 증가함에 따라 광전달 함수(OTF)의 진폭이 감소한다.

이미징 시스템에서는 렌즈 요소의 품질, 조리개, 서로에 대한 렌즈 요소의 정렬, 센서에 대한 렌즈 요소의 정렬, 센서 자체 등 많은 구성 요소가 포인트 확산 함수 또는 광학 전달 함수에 영향을 미친다. 위치 공간에서 개별 구성 요소의 포인트 스프레드 함수는 컨볼루션 알고리즘에 의해 서로 연결되어 결과 적으로 전체 포인트 스프레드 함수로 이어진다. 주파수 공간에서 이 컨볼루션은 광학 전달 함수의 위상, 즉 가상 부분이 손실 되는 경우 개별 변조 전달 함수의 곱셈으로 단순화된다.

특히 이 기사에서 설명하는 많은 예가 이에 해당한다. 광학 전달 함수의 가상 부분이 손실되면 센서, 필터 또는 렌즈와 같은 다양한 구성 요소의 변조 전달 함수를 곱하여 전체 변조 전달 함수를 결정할 수 있다. 포인트 확산 함수나 광학 전달 함수와 달리 MTF는 비교적 측정하기 쉬운 수치이다. 간단한 측정을 통해 전체 시스템에서 개별 구성 요소의 영향을 파악할수 있는 기회를 제공한다.

렌즈 MTF
 

렌즈는 수렴 렌즈, 발산 렌즈, 비구면 렌즈, 이중 렌즈, 삼중 렌즈 및 조리개와 같은 개별 렌즈 요소로 구성된다. 개별 요소는 배럴에 고정되어 있다. 예를 들어 사진 렌즈나 클래식 C 마운트 렌즈의 경우 조리개와 렌즈의 일부를 조절할 수 있는 경우가 많다. 조리개는 열고 닫을 수 있으며 렌즈의 초점을 맞추기 위해 요소 광학 축과 평행하게 움직일 수 있다. 내진동 렌즈, M12 또는 M8 마운트 렌즈의 경우 모든 광학 요소가 배럴에 단단히 장착되거나 접착되어 있다.

모든 구성 요소, 렌즈 요소, 조리개, 필요한 공차 및 경통의 정밀한 고정은 렌즈의 이미지 품질에 기여한다. 렌즈와 모든 렌즈 구성 요소는 변조 전달 기능을 갖춘 통합 시스템으로 간주되며 모두 전체 시스템의 이미징 품질에 기여한다. 변조 전달 함수는 다양한 속성으로 구성된다. 렌즈의 해상도 용량을 결정하는 날카로운 물리적 한계가 있는 회절의 음수 요인을 고려한다. 이미징 오류, 생산 공차 및 기타 변수와 같은 추가 요인은 설계 및 제조에 의해 영향을 받을 수 있다.

회절 한계는 빛의 파동 특성을 기반으로 하며 조리개와 파장의 크기와 모양에 따라 결정된다. 이미징 오류가 없는 광학 장치를 사용하면 회절 한계가 최상의 이미징 결과를 결정하게 된다. 회절 제한 변조 전달 함수를 계산하려면 조리개 함수가 필요하다. 회절 제한 광학 전달 함수는 정규화된 자기 상관 관계이다. 이 값은 변조 전달 함수이다. 가장자리 길이가 ‘D’ 인 정사각형 조리개의 경우를 예로 들어 보겠다. 변조 전달 함수는 밀리미터당 라인 쌍(lp/mm)으로 측정되는 주파수 ‘ν’에 따라 달라지며, 다음과 같은 방식으로 계산된다.

정사각형 조리개

정사각형 함수의 자동 상관 관계 함수는 삼각형 함수이다.

여기서 컷오프 주파수는 다음과 같이 정의된다.

원형 조리개의 경우 변조 전달 함수가 더 복잡하다.

차단 빈도도 마찬가지이다.

둥근 조리개를 가진 회절 제한 광학 시스템에서 광학 전달 함수는 에어리 분포의 푸리에 변환으로 계산된다. 정사각형 조리개와 원형 조리개의 주요 차이점은 고주파수에서 원형 조리개의 곡선이 더 평평하게 하강한다는 점이다. 원형 조리 개의 일반적인 값에 대한 파장과 조리개의 영향은 <그림4>에 나와 있다.

<그림4> 회절 제한 MTF는 파장(왼쪽 이미지, 모든 파장에 대해 F4 조리개)과 조리개(오른쪽 이미지, 조리개의 경우 550nm, F1.4, F4, F16)에 따라 달라진다.

동일한 조리개에서 다른 색상 또는 파장에 대한 주파수가 증가함에 따라 MTF 값의 차이는 점점 더 커진다. 그러나 동일한 파장의 다른 조리개 레벨의 경우보다 그 차이는 여전히 현저히 낮다. 여기서는 동일한 회절 제한 시스템에서 조리개 F16이 이미 100lp/mm이고 MTF 값이 즉, 검은색과 흰색 사이에 차이가 없다. 반면 조리개 F4를 사용하면 440lp/mm가 되어야 제로 값에 도달한다.

실제 MTF 값이 회절 한계에 매우 근접한 회절 제한 시스템을 구축할 수 있다. 그러나 대부분의 경우 렌즈는 적어도 더 높은 주파수 범위 또는 회절 한계의 이미지 중심을 벗어난 경우 이다. 그 이유는 재료 품질, 결함 때문이다. 재료, 생산 공차, 재료 특성, 광학 오차 등을 고려해야 한다. 그 이유는 재료 품질, 재료의 결함, 생산 공차, 재료 특성 및 광학 오류 때문이다. 광학 오류의 예로는 색수차, 이미지 필드 곡률, 난시 등이 있다.

물론 고품질의 특수 소재를 사용하거나 광학 오류를 수정할 수 있다. 그러나 광학 오류를 수정하는 것이 항상 100% 해결책은 아니다. 이 경우 렌즈의 가격, 무게, 크기(광학 오류를 보정하기 위해 추가 렌즈 요소가 필요함)와 렌즈의 성능을 고려해야 한다. 대칭 오류는 앞서 언급한 모든 오류가 결합된 더큰 혼란의 원으로 알려진 가정으로 표현할 수 있다. 유사 시스 템의 변조 전달 함수는 다음과 같이 정의된다.

5.89µm의 혼동 원에 대한 컷오프 주파수는 약 200lp/mm 이므로 순수 회절 제한 시스템의 이전 곡선보다 훨씬 작다. 처음에 그래프 F1(5.89m)은 F3(3.35m)의 곡선 최대값과 거의 평행하게 이어지다가 더 가파르게 감소한다. 렌즈의 총 대략 적인 MTF는 회절 제한 MTF와 혼동 원 기반 MTF를 곱하여 결정할 수 있다.

<그림5> 서로 다른 혼동 원에 대한 두 가지 샘플 커브

센서 MTF
 

렌즈 및 유사한 광학 요소와 달리 센서는 고정된 주기적 구조인 픽셀을 가지고 있다. 이미지는 고정된 주파수로 스캔되며, 이는 센서의 변조 전달 함수에 상당한 영향을 미친다. 위에서 설명한 고전적인 이론은 선형적이고 균일한 시스템, 즉 위치 불변 응답 시스템에만 적용될 수 있다.

가장자리 길이가 ‘a’인 단일 정사각형 픽셀에 대한 감지기의 기능은 다음과 같다.

변조 전달 함수 결과는 다음과 같다.

<그림6> 정사각형 픽셀의 MTF

<그림6>의 그래픽은 픽셀 크기가 작아질수록 변조 전달 함수가 넓어지는 것을 보여준다. 정사각형 픽셀은 MTF를 계산 하기 가장 쉬운 픽셀 모양이므로 정사각형 픽셀을 가정했다. 직사각형, L자형 또는 기타 다른 모양의 픽셀에 대한 변조 전달 함수를 계산하는 것도 똑같이 가능하다. 픽셀의 크기는 나이퀴스트 주파수에 결정적인 역할을 한다. 이미지의 밝음에서 어두움으로의 전환이 여러 픽셀에 걸쳐 확장되면 좋은 해상도로 이미지화할 수 있다. 흑백 줄무늬가 픽셀보다 더 자주 바뀌면 회색 표면만 이미지화되고 줄무 늬는 식별할 수 없다.

스트라이프 패턴의 주파수와 픽셀 주파수가 동일한 영역이 중간에 존재하는데, 이 시나리오는 검은색 또는 흰색 스트라 이프가 픽셀만큼 정확히 넓다는 것을 나타낸다. 이 경우 패턴이 픽셀과 관련하여 어떻게 위치하는지에 따라 달라진다. 한가지 가능성은 교대로 나타나는 스트라이프 패턴과 픽셀이 평행하여 한 픽셀은 검정색이고 한 픽셀은 흰색인 경우이다. 이 결과에 따라 최대 MTF 값이 결정된다. 그러나 패턴이 반픽셀씩 이동하면 모든 픽셀의 밝기가 동일해지고 회색 이미 지가 다시 나타난다.

<그림7> 명암 전환의 주파수(보라색 선)가 픽셀 주파수(픽셀 크기의 역수)와 일치하는 경우 두 값을 오버레이할 수 있는 두 가지 가능성이 있다.

이러한 매우 높은 위치 의존성은 컨볼루션 알고리즘으로서 변조 전달 함수 계산의 기초가 되는 기본 가정을 위반한다. 따라서 여기에서는 위치 독립성을 복원하기 위해 이미지 평균을 사용하는 것이 제안되었다. 픽셀 외에도 구조에서 센서 MTF는 샘플링 MTF를 추가 구성 요소로 가지고 있다. 샘플링 MTF는 가능한 모든 변조 전달 함수의 평균이며, 이러한 이유로 위치 불변이다. 다음과 같이 계산할 수 있다.

변조 전달 함수 결과는 다음과 같다.

‘b’ 변수는 인접한 두 센서의 중심점 사이의 거리를 나타낸다. 이전에는 정사각형 픽셀이 가정되었으며, 이 경우 변조 전달 함수와 평균 샘플링 변조 전달 함수는 모두 동일하다. 센서 결과에 대한 측정 그리드의 고유한 정렬이 없고 경사 에지 방법을 통해 변조 전달 함수를 계산하는 경우, 이 평균은 항상 계산에 포함되어야 한다. 그러면 센서 변조 전달 함수는 최소한이 두 부분으로 구성된다.

스캐닝 및 픽셀 구조, 반사 방지 코팅, 마이크로 렌즈, 블루밍 방지 구조, 추가 설계 매개변수와 함께 이러한 모든 요소가 센서 MTF에 영향을 미친다.

<그림8> 이론(파란색 실선)과 측정값(점선)의 비교

변조 전달 함수 측정

실험 설정에서는 센서에 평행한 적색광을 비추고 센서 바로 앞에 대각선 가장자리를 장착했다. 반사 및 그림자를 방지하기 위해 센서 유리를 제거했다. 그래픽은 정사각형 픽셀에 대한 이론적 MTF 곡선(빨간색), 정사각형 픽셀에 대한 이론적 MTF 곱셈 곡선, 샘플링 MTF(파란색)를 보여준다. 또한 실험 설정에서 얻은 두 가지 측정 결과가 녹색과 검은색으로 표시 되어 있다.

이 예에서 정사각형 픽셀을 가정하는 것은 변조 전달 함수의 이론적 계산을 위한 좋은 첫 번째 근사치이다. 대부분의 경우, 변조 전달 함수는 사용자와 최종 클라이언트 모두 테스트 차트를 사용하여 측정한다. 이 과정에서 렌즈와 센서를 포함한 전체 시스템이 항상 측정된다. 따라서 매우 고해상도 센서를 사용하는 경우에도 변조 전달 함수에 영향을 미친다.

여기서 논의된 가정을 고려하자.

<그림9> 정사각형 픽셀의 센서 MTF(빨간색), 회절 제한 렌즈 MTF(파란색), 원형의 혼탁 기반 렌즈 MTF(녹색)와 비교한 시스템 MTF(검은색)의 예이다.

요약하면, 전체 시스템 해상도와 결합된 시스템 MTF는 항상 개별 구성 요소의 MTF 값보다 낮다고 말할 수 있다. 따라서 매우 열악한 구성 요소는 시스템에 나쁜 영향을 미치며, 반대로 한 구성 요소의 품질이 높을수록 전체 시스템이 향상된다. 현재 점점 더 고해상도 시스템에서는 점점 더 작은 픽셀을 가진 센서를 사용하고 있다.

중요한 것은 정렬과 초점이다. 센서 평면을 렌즈 축으로 기울일 때 픽셀이 작아지거나 센서가 커지면 해상도에 더 큰 영향을 미친다. 따라서 능동적인 기계 정렬 및 초점 조정이 필수적이며 강력히 권장된다.

자료제공 : Framos(www.framos.com)